Ecuaciones Diferenciales

Ingeniería Sistemas

Docente: Ing. Manuel Nevarez
Integrantes:
Gonzalez Valencia Oliver
Villota Alexander
Santiago Lucas Gomes

¿Qué es una ecuación diferencial?

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas.

1.1) Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales

Objetivo: Analizar las propiedades de las soluciones de las ecuaciones diferenciales.

Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

Ecuaciones diferenciales ordinarias: una variable independiente depende de las funciones desconocidas.

Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables independientes.

Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias

En un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de cualquier orden, puede ser reducido a un sistema equivalente de primer orden, si se introducen nuevas variables y ecuaciones. Por esa razón en este artículo sólo se consideran sistemas de ecuaciones de primer orden. Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden escrito en forma explícita es un sistema de ecuaciones de la forma:

$\begin{cases} \cfrac{dx_1}{dt} = F_1(x_1,x_2,\ldots,x_n;t)\\ \cfrac{dx_2}{dt} = F_2(x_1,x_2,\ldots,x_n;t)\\ \ldots \\ \cfrac{dx_n}{dt} = F_n(x_1,x_2,\ldots,x_n;t) \end{cases}$

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación de la forma

$F(x,y,y')=0\,$

en la que aparecen una variable independiente, una variable dependiente y una primera derivada. La razón por la cual a las ecuaciones de este tipo se les dice ecuaciones diferenciales ordinarias es el hecho de que no aparecen derivadas parciales. Por ejemplo,

$y'+3xy=\mathrm{sen}\, x,\qquad {dy\over dx}+y=0,\quad\mbox{y}\quad (y')^2+3x=e^y$

son todas ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

En general, el orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación. En este capítulo nos concentraremos únicamente en ecuaciones diferenciales de primer orden, y dejaremos para después el estudio de ecuaciones diferenciales de orden superior.

Aunque es forzoso que una ecuación diferencial incluya una derivada de primer orden, es posible que, por su parte, la variable independiente y la variable dependiente están ausentes en la ecuación. Por ejemplo, en la ecuación diferencial

${dy\over dx}=-1,$

No aparece ni

de manera explícita, mientras que en la ecuación

${dy\over dx}=-y$

No aparece explícitamente

Una función que satisface una ecuación diferencial dada dentro de algún intervalo

se dice solución de esa ecuación diferencial en

. Por ejemplo, la función

dada por

$y(x)=e^{-x}\,$

es una solución de la ecuación diferencial (1.1), hecho que puede comprobarse sustituyendo

en la ecuación diferencial. Notemos que la solución $y(x)=e^{-x}$ esta definida para todo número real

. Por supuesto, hay casos en los que una solución de una ecuación diferencial dada puede estar definida sólo dentro de un intervalo específico. Por ejemplo, $y(x)=\ln x$ es una solución de la ecuación diferencial

que sólo está definida para valores de

en el intervalo $(0,\infty).$

Otra cosa que podemos notar de inmediato es que la solución de una ecuación diferencial no es, en la mayoría de los casos, única. Por ejemplo, cualquier función que venga dada por una ecuación de la forma

$y(x)=ke^{-x},\qquad k\in\mathbb{R}$

(1.3)

es una solución de la ecuación diferencial (1.1). En efecto, pues

${d\over dx}\left(ke^{-x}\right)=-ke^{-x}=-y(x).$

Puesto que todas la soluciones de (1.1) son de la forma $y(x)=ke^{-x}$ , con

una constante arbitraria, se dice que la función

dada por (1.3) es la solución general de la ecuación diferencial (1.1). Por su parte, la función dada por (1.2) constituye una solución particular de la ecuación diferencial (el caso en el que

Es de esperarse que la solución de una ecuación diferencial incluya una constante arbitraria. La razón de esto es que, al incluir una ecuación diferencial derivadas, es razonable que cualquier proceso de solución incluya la evaluación de una integral, de la cual resulta una constante de integración que finalmente queda incorporada en la solución final de la ecuación diferencial. Así pues, es comprensible que la solución general de una ecuación diferencial incluya constantes arbitrarias y que de ese modo el número de soluciones (particulares) de una ecuación diferencial sea infinito. Por supuesto, esto no siempre sucede, ya que hay ocasiones en las que la solución de una ecuación diferencial es única. Por ejemplo, la solución de la ecuación diferencial

$\left({dy\over dx}\right)^2+y^2=0$

es sólo la función

dada por

. Ahora bien, es también posible que la solución de una ecuación diferencial no exista, como sucede con

$\left|{dy\over dx}\right|+1=0,$

donde se ve claramente que no existe ninguna función que satisfaga esta ecuación diferencial.

Hemos visto entonces que una ecuación diferencial puede tener infinitas soluciones, puede tener una única solución o puede no tener ninguna. Sin embargo, las ecuaciones diferenciales que van a interesarnos a nosotros son aquellas en las que existen infinitas soluciones, cada una de ellas determinada por diferentes constantes arbitrarias o parámetros. Más exactamente, nos interesaremos únicamente en ecuaciones diferenciales en las que el número de constantes arbitrarias distintas en la solución es igual al orden de la ecuación diferencial, ya que estas son las ecuaciones con las que uno se enfrenta regularmente. Así pues, para nosotros la afirmación de que la solución general de una ecuación diferencial tiene tantos parámetros como sea el orden de la ecuación diferencial será válida en todo momento.

Los valores de las constantes arbitrarias de la solución de una ecuación diferencial pueden fijarse cuando se conocen valores de condición inicial. Por ejemplo, la función

dada por (1.2) es una solución de la ecuación diferencial (1.1) que satisface la condición inicial

En la figura 1.1 se muestran las gráficas de algunas soluciones particulares de la ecuación diferencial (1,1), obtenidas tomando diferentes valores de condición inicial.

Figura 1.1

Cada una de las curvas correspondientes a una solución de una ecuación diferencial se dice una curva solución o una curva integral. Así pues, la solución general de una ecuación diferencial determina una familia de curvas integrales. Veamos otro ejemplo apropiado para ilustrar esto.

Ejemplo 1.1:

Considérese la ecuación diferencial

${dy\over dx}y=-x\,$

La ecuación define implícitamente la solución general de esta ecuación diferencial. En efecto, pues derivando implícitamente con respecto a se obtiene

$2y{dy\over dx}+2x=0,$

de la cual se obtiene la ecuación (1.4). Por lo tanto, la ecuación , que define la solución general de la ecuación diferencial, (1.4) determina una familia de circunferencias con centro en el origen. Sin embargo, estas circunferencias no son, estrictamente hablando, curvas solución de la ecuación diferencial (1.4), ya que la ecuación

$y=\pm\sqrt{C-x^2}$

no define a una función. En realidad, debemos escoger un signo para la raíz de la ecuación anterior para que ésta pueda definir a como una función de . Por ejemplo, podemos tomar la raíz positiva, obteniendo una ecuación que determina una familia de semicircunferencias como las que se muestran en la figura 1.2.

Figura 1.2

Ecuación diferencial lineal

Una ecuación diferencial lineal ordinaria es una ecuación diferencial que tiene la forma:

$a_n(x) D^n y(x) + a_{n-1}(x)D^{n-1} y(x) + \cdots + a_1(x) D y(x) + a_0(x) y(x) =f(x)$

O usando otra notación frecuente:

$a_n(x)\frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_0(x) y = f(x)$

Para que una ecuación diferencial sea lineal es que no aparezcan productos de la función incógnita consigo misma ni de ninguna de sus derivadas. Si usamos la notación $\mathcal{L}$ para denotar el operador diferencial lineal de la ecuación anterior, entonces la ecuación anterior puede escribirse como:

$\mathcal{L}y = f, \qquad \mathcal{L} = \sum_{k=0}^n a_k(x)D^k(\cdot)$

Estas ecuaciones tienen la propiedad de que el conjunto de las posibles soluciones tiene estructura de espacio vectorial de dimensión finita cosa que es de gran ayuda a la hora de encontrar dichas soluciones.

2.1

Ecuaciones lineales

Sea y`=f(x,y) donde f es una función de variables.

Entonces cualquier función diferenciable y=d(x) que satisface la ecuación en algún intervalo de x se llama solución. Se supondrá qye f(x,y) dependiente linealmente de la variable dependiente y

Y’+P(x)Y=G(x)

Ecuación lineal de primer orden

P y G son funciones continuas en un intervalo ∞<x<B

Factor integrante

Una manera posible de resolver la ecuación lineal general de primer orden Y’+P(x)Y=G(x)

Solución

Multiplicar por un factor integrante adecuado u(x)[Y’+P(x)Y=G(x)]

u(x)Y`+u(x)P(x) y=u(x)G(x)

Se concluye que toda solución de la ecuación está incluida en la siguiente expresión

Y= ∫u(x)G(x)dx / u(x)

u(x)=e ^ ∫P(x)dx

Ejemplo

Y’+2Y=e ^-x

Y’+P(x)Y=G(x)

P(x)=-2

G(x)= x^2e ^2x

u(x)=e^∫-2dx

∫u(x)G(x)dx

∫ e ^2x(x^2e^2x)dx

∫x^2dx= x^3/3

Y’= x^3/3+c / e ^-2x

Y’= x^3/3 + e ^2x+C e ^2x

Ecuaciones Diferenciales

jueves, 11 de abril de 2013

Introducción Ecuaciones Diferenciales

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